Toán Vì sao không thể giải được phương trình bậc năm ?

Ta biết rằng phương trình đại số bậc năm là không thể giải được bằng căn đã được Évariste Galois chỉ ra bằng lí thuyêt nhóm. Các bạn xem bài viết về tính không thể giải được của phương trình đại số bậc năm sau nhé :

TÍNH KHÔNG THỂ GIẢI CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NĂM

Trước hết ta chứng minh mọi phương trình đại số bậc năm đều luôn có nghiệm thực x = xo nào đó.
Thật thế với phương trình bậc năm sau f(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + h = 0.
Ta có lim(x→ -∞)(f(x) = a.lim(x→ -∞) (x5 )= a.(−∞)
lim(x→ +∞)(f(x) = a.lim(x→ +∞) (x5 )= a.(+∞)
→ lim(x→ -∞)(f(x).lim(x→ +∞)(f(x) = a.(−∞). a.(+∞) = a^2. (−∞) = (−∞) < 0
Như vậy khi x tiến ra xa vô cực khác nhau thì f(x) sẽ mang giá trị ngược dấu nhau. Nên sẽ có các điểm thuộc đồ thị f(x) nằm về hai phía đối nhau qua đường thẳng x = 0 khi điểm x dần ra xa vô cực.
Do hàm f(x) liên tục trên R. Nên đồ thị hàm f(x) sẽ phải cắt trục hoành tại điểm xo nào đó. Do đó luôn tồn tại nghiệm thực x = xo để cho f(xo) = 0
Giả sử phương trình bậc 5 trên ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + h = 0 là giải được và có nghiệm x = xo
Thế thì phương trình bậc 5 trên phải phân tích được thành tích hai nhân tử và có một nhân tử chứa nghiệm xo , có hai trường hợp sau xảy ra:
ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + h = (a’x2 + b’x + c’)(a’’x3 + b”x2 + c”x + d”) = 0
hoặc ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + h = (kx + l)(mx4 + nx3 + px2 + qx + r ) = 0
Như vậy khi phân tích một phương trình bậc 5 thành tích hai nhân tử ta luôn thấy xuất hiện một nhân tử có bậc từ 3 trở lên.
Vì phương trình bậc 5 giải được nên nhân tử bậc 3, bậc 4 trong phương trình cũng phải giải được. Mà giải phương trình bậc 3, bậc 4 ta đã biết trong trường hợp tổng quát ta chỉ giải được chúng trên tập số phức C.
Do phương trình bậc 5 bằng tích của một nhân tử chỉ giải được trên C với thêm một nhân tử khac nữa. Nên suy ra trong trường hợp tổng quat là không thể nhóm được thành tích các nhân tử trên tập số phưc C. Từ đó mà nó là không thể giải được bằng căn thức.
Thực ra thì phương trình tổng quat có bậc từ 3 trở lên là đã không thể giải được bằng căn thức ! (chứ không phải bậc 5 trở lên mới không giải được ?) nếu ta chỉ giải chúng trên tập các số thực R mà không sử dụng số ảo. Do không tồn tại công thức đại số cho nghiệm tổng quát của phương trình có bậc từ 3 trở lên trên tập số thực. (Công thức đại số nghiệm tổng quát là công thức tìm ra nghiệm của phương trình tổng quát mà chỉ dùng hữu hạn lần 6 phép toán cơ bản là cộng ( + ),trừ ( − ),nhân ( × ),chia (/), lũy thừa (^) và khai căn(√).
Chẳng hạn như phương trình bậc ba sau x^3 – 3x + 1 = 0. Dễ thấy phương trình này có 3 nghiệm thực phân biệt vì nếu đặt f(x) = x3 – 3x + 1 thì ta có f(– 2) = – 1 < 0; f(0) = 1 > 0 ; f(1) = – 1 < 0 ; f(2) = 3 > 0 nên phương trình x3 – 3x + 1 = 0 có ba nghiệm x1, x2, x3 với – 2 < x1 < 0 < x2 < 1 < x3 < 2 ba nghiệm của nó là x1 = – 2sin70⁰ ; x2 = 2sin10⁰ ; x3 = 2sin50⁰ các bạn tự kiểm tra lại nhé ! Tuy nhiên ta không có cách gì để biểu diễn được các nghiệm này dưới dạng đại số nếu chỉ dùng 6 phép toán cơ bản là cộng ( + ),trừ ( − ),nhân ( × ), chia (/), lũy thừa (^) và khai căn (√) trên tập số thực R.

Một ví dụ về phương trình bậc năm không thể giải được bằng căn là :

(4x^3 – 1)(x+1)² + q² = 0 (Với q ∈ Q và q ≠ 0, q ≠ + 1)

Ta không thể biểu diễn được nghiệm của phương trình trên chỉ với các phép toán cộng ( + ),trừ ( −),nhân ( × ), chia (/), lũy thừa (^) và khai căn (√) theo các hệ số. Do vậy phương trình này ta không thể giải được ra nghiệm của nó dưới dạng đại số. Đây là phương trình sinh định lý lớn Fermat tại n = 3. Sự không giải được của nó đã dẫn tới phương trình Đi-ô-phăng x3 + y3 = z3 không có nqhiệm nguyên dươnq.□​