Toán Chứng minh Tiên đề Euclid

ĐỊNH LÍ EUCLID

Định lí Euclid: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng sonq sonq với đường thẳng đó.(Tiên đề Euclid)

Chứng minh:



Giả sử qua M có hai đường thẳng b và c cùng song song a.
Vì b//a nên a phải nằm trong một nửa mặt phẳng nào đó có bờ là b. Tương tự vì c//a nên a phải nằm trong một nửa mặt phẳng nào đó có bờ là c. Từ đó a nằm trong phần chung của hai nửa mặt phẳng này, do đó a nằm trong góc do hai đường thẳng b và c cắt nhau tại M tạo ra. Dẫn đến nửa mặt phẳng bờ a không chứa M sẽ nằm trong goc bMc và có npm(a,M) ⊂ ∠bMc.
Gọi số đo góc bMc = α⁰ với 0⁰ < α⁰< 180⁰(*). Ta chia mặt phẳng đã cho thành 360 phần bằng nhau quanh một điểm, mỗi phần là một goc 1⁰.
Ta có: nmp(a,M) ꓴ npm(a,M) = mp(a,M) ⇒ nmp + nnp = mp ⇒ 2nmp = mp ⇒ nmp = (1/2)mp
Như thế nửa mặt phẳng là 1/2 phần của mặt phẳng.
Và có: mp = ∠(Mc,Mc) = 360⁰ = 360.1⁰ ⇒ 1⁰ = (1/360)mp. Tức góc 1⁰ là 1/360 phần của mặt phẳng.
Ta cũng có : ∠bMc = α⁰ = α.1⁰ = α.(1/360)mp = (α/360)mp. Tức goc ∠bMc = α⁰ là α/360 phần của mặt phẳng.
Do npm(a,M) ⊂ ∠bMc ⇒ (1/2)mp = npm(a,M) ⊂ ∠bMc = α⁰ = (α/360)mp ⇒ (1/2)mp ⊂ (α/360)mp
⇒ (1/2)mp ⩽ (α/360)mp ⇒ 1/2 ⩽ α/360 ⇒ α⁰ ⩾180⁰ mâu thuẫn với trên(*).
Vậy qua M chỉ có duy nhât một đường thẳng m sonq sonq với a mà thôi.□

Chứng minh 2:

Giả sử qua M có hai đường thẳng b và c cùng song song với a.
Vì b//a nên a phải nằm trong một nửa mặt phẳng nào đó có bờ là b. Tương tự vì c//a nên a phải nằm trong một nửa mặt phẳng nào đó có bờ là c. Từ đó a nằm trong phần chung của hai nửa mặt phẳng này, do đó a nằm trong góc do hai đường thẳng b và c cắt nhau tại M tạo ra và có a ⊂ bMc
Ta có: bMc = {N|N⊂ bMc } = { N | P ∈ Mb, Q ∈ Mc, N ∈ PQ}

Lấy một điểm N bất kì thuộc a. Do a nằm trong góc bMc nên điểm N cũng nằm trong góc bMc. Từ đó có P ∈ Mb, Q ∈ Mc sao cho N ∈ PQ vì nếu N ∉ ∀PQ thì điểm N phải nằm ngoài bMc.

Đường thẳng a đi qua điểm N nằm giữa P và Q (chú ý đường thẳng PQ ≠ a) nên P và Q sẽ nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có chung bờ a.

Do P ∈ b và M ∈ b mà b//a nên M,P cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ a. Suy ra M và Q nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có chung bờ a. Nên đường thẳng MQ sẽ cắt a tại một điểm I nào đó.

Mặt khác MQ ≡ c nên ta có c cắt a tại I dẫn đến mâu thuẫn với c//a. Vậy điều giả sử là không đúng. Có nghĩa là qua M không thể có hai đường thẳng b và c cùng song song với a. Hay nói cách khác chỉ có một đường thẳng m đi qua M và sonq sonq với a mà thôi.□