Chứng minh Tiên đề Euclid

Có một chứng minh Tiên đề Euclid. Các bạn xem nhé !

ĐỊNH LÍ EUCLID

Định lí Euclid: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng sonq sonq với đường thẳng đó.(Tiên đề Euclid)





Chứng minh:

Giả sử qua M có hai đường thẳng b và c cùng song song a.
Vì b//a nên a phải nằm trong một nửa mặt phẳng nào đó có bờ là b. Tương tự vì c//a nên a phải nằm trong một nửa mặt phẳng nào đó có bờ là c. Từ đó a nằm trong phần chung của hai nửa mặt phẳng này, do đó a nằm trong góc bMc do hai đường thẳng b và c cắt nhau tại M tạo ra. Dẫn đến nửa mặt phẳng bờ a không chứa M sẽ nằm trong góc bMc, npm(a,M) ⊂ bMc.
Gọi số đo góc bMc = α⁰ với 0⁰ < α⁰ < 180⁰. Ta chia mặt phẳng đã cho thành 360 phần bằng nhau quanh một điểm, mỗi phần là một góc 1⁰.
Như thế nửa mặt phẳng chiếm 1/2 phần của mặt phẳng. Vì nmp = (180⁰/360⁰)mp = (1/2)mp.
Và góc α⁰ chiếm α/360 phần của mặt phẳng, vì α⁰ = α.1⁰ = (α/360)mp.
Do npm(a,M) ⊂ bMc nên kéo theo (1/2)mp ⩽ (α/360)mp, vì nếu (1/2)mp > (α/360)mp thì miền nằm trong có lượng lớn hơn, vô lí.
Từ (1/2)mp ⩽ (α/360)mp ⇔ 1/2 ⩽ α/360 ⇔ α⁰ ⩾ 180⁰ dẫn đến mâu thuẫn.
Vậy qua M chỉ có duy nhât một đường thẳng m sonq sonq với a mà thôi.□