Cách trình bày lời giải bài toán thi đại học, cao đẳng môn Toán

Để bước vào phòng thi được tự tin hơn, làm bài với kết quả cao hơn, tôi mong giúp được các bạn một chút về cách trình bày lời giải bài toán tự luận cho rõ ràng.

Trước hết phải chuẩn bị đầy đủ: Thẻ học sinh, 2 bút giống nhau cùng mực, thước kẻ, bút chì (không cần máy tính) và đương nhiên đi thi phải đúng giờ quy định. Khi xin giấy thi làm bài tiếp thì ghi ngay các mục cần thiết, đừng để sau mới ghi. Khi nhận đề hãy bình tĩnh đọc kỹ từng câu, có thể ghi các công thức mình thấy khó nhớ mà cần phải áp dụng ra nháp (chẳng hạn phải tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau).

Lời giải của một bài toán có đầy đủ các bước: Mở bài, thân bài và kết luận.

Mở bài thường dùng các từ: Ta có, giả sử, xét, …

Thân bài thường dùng các từ: Điều kiện, với đk đó, ta thấy, mà, nếu, khi đó, do đó, từ đó, từ (1) và (2) ta được, suy ra, mặt khác, …

Kết luận thì dùng từ: Vậy (bài toán hỏi gì thì trả lời thế, chẳng hạn: Vậy m = 1 là giá trị cần tìm). Các bạn nhớ đầu dòng thì viết hoa. Tránh lạm dụng viết tắt, nếu trong sách giáo khoa không có ký hiệu nào đó thì muốn dùng các bạn hãy quy ước.

Sau kết luận của một câu, một phần hoặc một ý các bạn nên để cách 1 đến 2 dòng cho rõ ràng. Với một phần có nhiều ý thì mỗi ý nên đánh một dấu * (hoa thị) kẻo quên không làm hết các ý trong phần đó. Nên viết thoáng ra, các phép biển đổi tương đương hay hệ quả thì viết xuống dòng liên tục, các dấu đó thẳng một cột cho đẹp.
Những câu các bạn viết ra phải chính xác (chẳng hạn: “Hàm số có tiệm cận đứng là x = 1” là không chính xác, mà phải là “Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1”).

Khảo sát hàm số thì các bước phải rõ ràng, nên tập vẽ đồ thị cho đẹp. Việc tính đạo hàm của hàm số cực kỳ quan trọng (nhất là hàm phân thức), không may tính sai thì sẽ ảnh hưởng đến những ý tiếp theo và phần câu hỏi phụ, đương nhiên sẽ mất rất nhiều điểm. Các em phải tập tính toán cẩn thận.

Nếu giải phương trình, bất phương trình… thì nhớ điều kiện xác định của chúng. Khi có kết quả thì phải biết thử lại ra nháp (nếu có thể) cho chắc chắn. Giải phương trình lượng giác nên dùng đường tròn lượng giác khi kết hợp nghiệm (nếu phải kết hợp). Khi thấy nghiệm quá lẻ, cồng kềnh hay vô nghiệm thì càng phải xem lại vì đó có thể là biểu hiện của việc… giải nhầm đấy các em ạ!

Bài hình học mà có 2 hoặc 3 ý thì nên trình bày ở trang 2 và 3 của tờ 2 cho dễ nhìn. Hình giải tích thường không phải vẽ hình, tuy nhiên nếu các em vẽ hình bổ trợ cho lời giải thì rất hay đấy. Bài hình giải tích không khó nhưng dễ mất điểm, chẳng hạn xét bài toán “Lập phương trình mặt phẳng (P) qua đường thẳng (d) và song song với đường thẳng (d’)”, thường thì học sinh hay làm như sau: mp(P) qua M trên (d) và nhận hai vectơ chỉ phương của (d), (d’) làm cặp vectơ chỉ phương, từ đó có phương trình của (P) là giải sai. Lập phương trình đường thẳng quá cồng kềnh, tọa độ điểm quá lẻ thì cũng dễ làm nhầm lắm.

Bài tổ hợp nếu cho vào dạng bài toán chọn hoặc lập số tự nhiên thì rất dễ sai nếu không đọc kỹ đầu bài. Bài dạng đó có thể ai cũng “làm được” nhưng lại… không có cùng đáp số. Mà các bạn nên nhớ số tự nhiên thì chữ số đầu tiên (kể từ trái) phải khác 0, nhưng lập số in trên vé số, biển xe máy, ô tô hay dãy số thì chữ số đầu tiên đó có thể bằng 0 đấy nhé!

Đề thi Đại học bây giờ chỉ ra cơ bản, không khó nhưng vẫn đầy chất chí tuệ để cho các học sinh giỏi có “đất diễn”. Nghĩa là với mỗi câu mỗi ý thường có nhiều cách giải và đương nhiên có cách hay nhất để học sinh giỏi thể hiện, cách đó vừa mất ít thời gian vừa đạt điểm tối đa. Tuy nhiên nhiều bạn thấy “đề dễ” nên sướng quá hóa quên, chẳng hạn tính tích phân đổi biến nhưng không đổi cận,bình phương hai vế phương trình không cùng không âm, bình phương một vế phương trình nhưng vế kia lại không bình phương, quên đơn vị đo… Đó là tự mình hại mình đấy. Nói tóm lại là phải thật sự bình tĩnh và cẩn thận.

Khi còn 10 phút thì hết giờ, các bạnnên xem lại toàn bộ bài giải từ đầu và xem các cột mục đã ghi đầy đủ chưa? Chủ động cho việc nộp bài và quyết tâm làm bài tốt các môn còn lại. Chiến thắng sẽ giành cho những bạncẩn thận, nghe lời thầy cô.

Các bạn thi khối B và D lại có thời gian tích lũy kinh nghiệm, chuẩn bị cho “Trận đánh lớn” khi thử sức với đề mà khối A vừa thi xong.

Cuối cùng chúc tất cả các bạn bình tĩnh, tự tin vào bản thân để làm bài thi tốt, với quyết tâm: “Bài dễ thì đạt điểm tối đa, bài khó thì không bỏ”.

Kinh nghiệm làm bài thi môn Toán

Dưới đây là hướng dẫn làm bài thi có hiệu quả nhất của các thầy giáo dạy môn Toán có kinh nghiệm của các trường ĐH, THPT.

Thạc sĩ Phạm Hồng Danh (GV toán Trường ĐH Kinh tế TP.HCM): Đề thi sẽ không quá khó

Thông thường, thang điểm môn toán của đề thi tuyển sinh ĐH được phân bố như sau: phần khảo sát hàm và những vấn đề liên quan (2 điểm); phần hình học giải tích (2 điểm) và phần hình học cổ điển (1 điểm); phần đại số và lượng giác (3 điểm); phần tích phân và giải tích tổ hợp (2 điểm).
Nhìn lại 27 đề thi môn toán trong ba năm (từ 2002 2004 gồm chín đề thi chính thức và 18 đề dự trữ) chúng ta thấy những vấn đề thường xuất hiện trong đề thi như sau:
1) Toàn bộ các đề thi đều có câu khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (100%).
2) Biện luận về sự tương giao của đồ thị bằng kiến thức tam thức bậc 2 (40%). Thật ra, hơn 90% các đề thi đều đòi hỏi biết sử dụng kiến thức về tam thức bậc 2.
3) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất (25%).
4) Tìm điều kiện để hàm số có cực trị (23%).
5) Viết phương trình tiếp tuyến (15%).
6) Tìm giới hạn của hàm số bằng cách khử dạng vô định (14%).
7) Viết phương trình đường thẳng; xác định tọa độ các điểm đặc biệt như tâm đường tròn,
trực tâm tam giác… (40%).
8) Các câu hỏi về đường tròn (30%).
9) Các câu hỏi về elip (15%).
10) Các câu hỏi về parabol (6%).
11) Các câu hỏi về tọa độ điểm, đoạn vuông góc chung, phương trình đường thẳng, mặt phẳng trong không gian (60%).
12) Những câu hỏi liên quan đến mặt cầu (30%).
13) Các bài toán liên quan đến tích phân (75%).
14) Các bài toán liên quan đến giải tích tổ hợp (76%).
15) Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình chứa logarit (60%).
16) Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chứa căn (27%).
17) Chứng minh các bất đẳng thức bằng các phép biến đổi tương đương và dùng bất đẳng thức Cauchy (28%).
18) Các hệ phương trình đối xứng (13%).
19) Những bài toán thuần túy là hình học cổ điển thường có tỉ lệ là 1 điểm.

Để chắc chắn đậu đại học, các em nên học thật chăm từ năm lớp 10, cần hiểu kỹ những điều căn bản trong sách giáo khoa và chỉ cần làm bài tập với độ khó ở mức trung bình và trung bình khá.

Thầy Nguyễn Vũ Lương (Chủ nhiệm khối Chuyên Toán-Tin ĐHKH Tự nhiên, ĐHQG HN): Ngắn, đúng, đủ

Đề thi thường có 10 câu, trong đó có 6 câu cơ bản, 3 câu hơi khó một chút và 1 câu khó. Vì vậy, TS cần chú ý vào những kiến thức, dạng bài tập cơ bản.

Đặc biệt khi làm bài TS không nên sa đà vào những bài tập quá khó sẽ mất rất nhiều thời gian; hãy bắt đầu bằng những bài mình có thể làm được; và trong những bài đó lại bắt đầu bằng những bài ngắn nhất để kiếm từng 0,25 điểm một. Quy tắc vàng khi làm bài là: thời gian và 0,25 điểm trong phòng thi quý hơn cả kim cương!

Yêu cầu của bài làm của TS là: giải bài tập ngắn, đúng, đủ (nhiều TS làm bài 1 điểm, do ẩu chỉ đạt 0,5 điểm).

Trong quá trình ôn thi, TS cần luyện tập cho mình những kỹ năng sau:

Trình bày: đặt điều kiện cho bài toán có nghĩa; sau khi giải phải kiểm tra kết quả thu được.

Luyện và học các phương pháp giải cơ bản: giải các dạng phương trình, sử dụng đạo hàm, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất...sau khi làm nhất thiết phải thử lại các nghiệm xem đúng hay sai.

Các nội dung TS cần lưu ý:

Đại số: Khảo sát và vẽ đồ thị; giải toán tiếp tuyến; các câu hỏi về cực trị của các dạng đường cong cơ bản phụ thuộc tham số; sử dụng đồ thị; sử dụng đạo hàm giải bài toán cực trị; tìm các nguyên hàm cơ bản; tích phân xác định và tổ hợp; các dạng phương trình, hệ phương trình chứa căn, mũ và lô-ga; bất đẳng thức.

Lượng giác: Chứng minh các đẳng thức lượng giác (LG) và các công thức LG trong tam giác; giải các phương trình LG cơ bản.

Hình: Hình học giải tích gồm: đường thẳng, mặt phẳng, đường tròn, mặt cầu, các đường cô-nic; Hình học không gian: các bài toán song song, vuông góc; các bài toán về tính chất song song, vuông góc trong các khối đa diện (tứ diện, lăng trụ, hộp chữ nhật).

Thầy Nguyễn Thượng Võ, cựu giáo viên Toán trường Hà Nội Amsterdam:

Bí quyết ở sách bài tập

Tôi vẫn nói với học sinh, ra HN ôn thi, các em mất ba điều: tiền bạc, thời gian và sức lực thì các em phải moi cho được ba điều: Kiến thức cơ bản, cách trình bày và tốc độ làm bài.
Kiến thức cơ bản ở đâu?

Để đạt điểm cao, trước hết HS phải nắm chắc kiến thức cơ bản. Kiến thức cơ bản ở đâu, thì đó là ở trong sách giáo khoa (SGK).

Tôi đi ôn thi nhưng vẫn khuyên các học trò: Các em không cần đến các lò mà vẫn có thể đỗ được. Không cần mua sách gì cao siêu, chỉ cần mua đúng SGK của nhà nước, đặc biệt là 3 cuốn sách bài tập (SBT) Toán, lớp 10, 11, 12.

Tại sao lại là sách bài tập toán? Là vì đề thi ĐH có tới gần một nửa là kiến thức từ lớp 11 và lớp 10. Vì vậy cần có ông thầy tổng kết lại cho.

Nếu không có thầy thì cứ sách bài tập mà làm, lầm tất cả bài tập trong đó là đã có thể yên tâm vào phòng thi ĐH. Trong SBT có cả đáp số, mình làm xong thấy sai thì có thể đối chiếu, tự tìm ra cái sai. Bí quá có thể hỏi các thầy giáo ở địa phương, tôi tin là các thầy đều có thể giải thích được.

Hai đề năm 2003 về tính giá trị lớn nhất nhỏ nhất còn cũng y hệt dạng đề trong SGK, con số còn không lẻ bằng SGK. Đề tích phân khối B năm ngoái còn dễ hơn SGK. Vì sao HS vẫn không làm được, vì coi thường SGK.

Đừng tách ra luyện thi khối A, khối B, khối D vì không có sự chênh lệch rõ rệt về độ khó. Đề năm 2004, câu Tích phân của khối B khó hơn khối A.

Tất nhiên, cũng có những câu của đề khối A ra khó hóc búa để tìm HS giỏi. VD đề khối A năm vừa rồi có thể có câu 5 được 1 điểm để chọn HS giỏi.

Một kinh nghiệm là đừng quá chú tâm vào câu quá khó, đừng có tham bát bỏ mâm. Thà cứ làm tốt tất cả các câu còn lại đi, để được 9 điểm cũng đã đủ đỗ.

Cách trình bày: Sử dụng giấy nháp đúng lúc, đúng chỗ

Những tính toán lặt vặt đừng có làm vào bài thi, hãy tính ra giấy nháp, Một bài thi chỉ 6-8 mặt giấy là vừa, có người làm đến 12 mặt giấy thì quả là khủng khiếp. Trong hoàn cảnh trời nắng nóng, tìm mãi không thấy đáp số, dễ gây ức chế cho người chấm bài.

Ví dụ, sau khi tính được tích phân, dùng định nghĩa thay giá trị cận trên cận dưới, khi thay số vào có thể làm ra giấy nháp và điền kết quả vào, vì người ta có thể nhẩm được, không thầy nào chấm điểm cho anh khi anh thay số vào cả.

Hoặc như khi giải phương trình bậc hai, anh không cần phải tính delta trong giấy thi, làm luộm thuộm, dài dòng. Nếu không nhẩm được nghiệm thì tính ra giấy nháp và điền kết quả.

Khi vẽ hàm số, tôi vẫn dạy học sinh vẽ chính xác không cần chú trọng bằng vẽ đẹp.

Tốc độ làm bài: Làm luôn ra giấy thi

Có những người nhờ tôi chấm lại bài trên giấy nháp, thấy đúng hết những điểm vẫn thấp. Đó là vì khi anh làm bài trên giấy nháp thì anh tập trung, khi anh chép ra bài thi, đầu đầu óc bắt đầu “lỏng”, vì chủ quan, nghĩ là làm xong rồi.

Thậm chí có em vừa chép vừa nghĩ ra cách giải bài khác nên dòng nọ đánh dòng kia, nhầm con số, vậy là giấy nháp đúng còn bài sai. Vì vậy nên hết sức hạn chế giấy nháp. Hạn chế giấy nháp để tăng tốc độ làm bài.

Ví dụ giải phương trình bậc hai, anh không cần ghi các bước tính ra, hoàn toàn có thể tính ra nháp rồi viết vào vừa sạch đẹp.

Một điều nữa tôi muốn nói, đó là các bạn đừng xao động tâm lý vì những tin đồn, có người gần ngày thi cứ nói sẽ ra đề này, ra đề kia chỉ làm hoang mang tư tưởng, chưa bao giờ tôi thấy các tin đồn đó là chính xác cả.

Tuần cuối cùng trước khi thi không học thêm ở đâu hết, không làm bài tập, anh phải đọc kỹ lý thuyết từ đầu đến cuối. Chúng tôi đi chấm bài, cái sợ nhất là sai cơ bản, sai cơ bản là gạch ngay.

Cái thứ hai là sợ lạc đề, văn lạc đề, sử lạc đề toán cũng có lạc đề vì anh không đọc kỹ đầu bài. VD: Tiếp tuyến tại điểm khác với tiếp tuyến đi qua. Tại điểm chỉ có 1 tiếp tuyến, đi qua có nhiều tiếp tuyến. Chính vì HS không đọc kỹ đề nên mới nhầm.

Sau khi phát đề, đừng có cắm đầu làm ngay, hãy dùng 5 phút phát đề để đọc kỹ, gạch ra những ý chính, những từ quan trọng trong đề. Câu nào khó thì đánh dấu hỏi (?) ra bên cạnh. Người ta hỏi tính diện tích thì gạch từ diện tích, khoảng cách thì gạch chân từ khoảng cách…để tránh bị nhầm.

Câu dễ làm trước câu khó làm sau. Đừng tỏ vẻ ta đây có "răng cứng" mà làm "phần xương" nhất trước, đến khi xong thì đã hết cả thời gian mà làm câu nạc rồi. Câu nào dễ, HS nên làm ngay vào giấy thi, chỉ tính ra nháp cái lặt vặt thôi.

Dấu cộng trừ nhân chia phải hết sức cẩn thận. Rõ ràng. Căn, logarit…nên viết ra đằng sau, con số viết lên đằng trước. Đơn giản thế này, viết căn hai nhân 3, chỉ cần anh kéo dài dấu căn một chút, sẽ thành căn của hai nhân ba. Vì vậy nên viết ba lên trước, thành ba nhân căn hai thì anh có kéo dấu căn dài đến bao nhiêu cũng không sợ.

Trong bài thi, HS vẽ hình elíp, hình tròn đừng nên dùng compa, dễ bị rách giấy. Nên dùng thước có khoét sẵn hình tròn và hình elíp. Kích thước to nhỏ không quan trọng vì nó phụ thuộc vào việc mình đặt. Vẽ tay nhiều khi hình elip trông giống… củ khoai.

Sử dụng máy tính, trừ khi dùng thật thành thạo hãy sử dụng vào việc tính những hàm phức tạp. Có những người tính bằng máy tính xong lại phải tính bằng tay vì không tin tưởng vào kết quả đó, vừa mất thời gian vừa gây ức chế tâm lý.

Tiếp nữa là đừng dùng hai thứ mực, đừng dùng bút xoá vì như vậy có thể coi là đánh dấu bài. Nếu viết sai, các em cứ gạch đi viết lại.

Sao lại ko cần máy tính nhỉ?
vs trình độ tính nhẩm của mình, dời cái máy tính ra thì...
nghĩ lại cái bài thi TN, may thử lại =máy, ko thì...