Toán Chứng minh Tiên đề Euclid

Có một chứng minh tiên đề Euclid. Các bạn xem nhé !

ĐỊNH LÍ EUCLID

Định lí Euclid: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.(Tiên đề Euclid)


Chứng minh:

Giả sử qua M có hai đường thẳng b và c cùng song song với a.
Vì b//a nên đường thẳng a phải nằm trong một nửa mặt phẳng nào đó có bờ là b. Tương tự do c//a nên đường thẳng a phải nằm trong một nửa mặt phẳng nào đó có bờ là c. Từ đó a nằm trong phần chung của hai nửa mặt phẳng này do đó a nằm trong góc bMc do hai đường thẳng b,c cắt nhau tại M tạo ra.
Gọi số đo (độ) của góc bMc là αᵒ (0ᵒ < αᵒ < 180ᵒ).
Ta có: Miền góc bMc chiếm α/180 phần của nửa mặt phẳng vì bMc = αᵒ = α.1ᵒ = α.(1/180).180ᵒ = α.(1/180).nmp = (α/180)nmp.
Từ αᵒ < 180ᵒ ⇒ α/180 < 1 ⇒ 1‒ α/180 = γ > 0.
Do a nằm trong góc bMc nên nửa mặt phẳng bờ a không chứa b và c sẽ nằm trọn trong góc bMc. Như vậy nmp(a,M) ⊂ bMc .(*)
Mặt khác nmp(a,M) ‒ bMc = nmp ‒ (α/180)nmp = (1‒ α/180)nmp = γ.nmp ≠ Ø (do γ > 0) nên nmp(a,M) ⊄ bMc dẫn đến mâu thuẫn với trên.(*)
Vậy qua M chỉ có duy nhất một đường thẳng m song song với a mà thôi.□